Additive Zahlentheorie: Erster Teil Allgemeine by Hans-H. Ostmann PDF

By Hans-H. Ostmann

ISBN-10: 366211030X

ISBN-13: 9783662110300

ISBN-10: 3662110318

ISBN-13: 9783662110317

Bereits seit längerer Zeit hat sich die additive Zahlentheorie als gesonderter Zweig innerhalb der Zahlentheorie herausgebildet; aber erst in den letzten Jahrzehnten hat dieses Gebiet neue Antriebe erhalten. In der klassischen additiven Zahlentheorie waren die Untersuchungs­ objekte im wesentlichen solche Fragestellungen, die an ganz spezielle Zahlenmengen geknüpft sind, wie etwa das GOLDBAcHsche oder das WARINGSche challenge. Diese bei den Probleme waren es aber auch, die den Anstoß zu einer neuen Entwicklung in der additiven Zahlentheorie gaben, als 1930 SCHNIRELMANN in seiner fundamentalen Arbeit "über additive Eigenschaften von Zahlen" [lJ einen neuen Zugang zu den ge­ nannten Problemen fand. SCHNIRELMANN entwickelte nämlich zunächst eine Theorie, die ganz von der speziellen Natur der Primzahlen bzw. der k-ten Potenzen absah und sich allgemein auf Mengen natürlicher Zahlen bezog. Jeder solchen Menge wird eine reelle Zahl, die "Dichte" zuge­ ordnet, die in gewissem Sinn ein Maß dafür ist, welcher Anteil aus der Gesamtheit aller natürlichen Zahlen der gegebenen Menge angehört. An Stelle der arithmetischen Natur der Zahlenmenge tritt additionally ein in dieser Weise zu verstehender metrischer Gesichtspunkt. Indem ferner noch die Summe solcher Mengen eingeführt wurde, zeigte sich, daß bereits in großer Allgemeinheit wesentliche Aussagen gemacht werden konnten. In Anschluß an SCHNIRELMANN hat diese allgemeine Theorie der Zahl­ mengen immer neue Impulse erhalten; somit schien für den vorliegen­ den Bericht ziemlich zwangsläufig eine grobe Gliederung durch die Stichworte "Summe", "Dichte", bzw. "spezielle Mengen" gegeben zu sein.

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21 2) Der Beweis entspricht der Herleitung von (211), Zur Sicherung der Konvergenz setze man gi = 1 für alle diejenigen i, für die ai > 11 ist. D. H. LEHMER [8] betrachtet auch g. = - s für s;; 0 für c. 2: n=O {n - (3 + s) cs(n) x" (m und gewinnt (s ganz), + 1) ;}c. (n - m (m2 + 1)) = O. Siehe auch BAILEY [2J, [3J, CARLITZ [2], [5J. Außer dem Fall s = - 1 hat noch der Fall s = 24 Interesse erlangt. (n) = C 24 (n - 1) heißt die RAMANu]ANsche Funktion. Ihre erzeugende Funktion 00 % II (1 - <>=1 %<»24 tritt in vielerlei Verbindungen auf, beispielsweise in der Theorie der elliptischen Modulfunktion.

Dann ist (I. SCHUR [3]) p! (n, 1, 3) = P (n, ~6, ± 1) , (25) woraus sich wegen P: (n, 1, 3) < P.. (n, 1, 3) sofort die Behauptung am Schluß des letzten Absatzes ergibt. - Für d > 3 ist P: (n, m, d) = P (n, 6) stets unmöglich (ALDER [1]). - Für (25) gab GLEISSBERG [1] einen weiteren Beweis unter Zuhilfenahme von Satz 8. Setzt man nämlich dort u = 3, so tritt an Stelle von U offenbar ~6, ± l' Es genügt daher zu beweisen: Die Anzahl aller Partitionen mit paarweise verschiedenen, nicht durch 3 teilbaren Summanden ist gleich (n, 1,3).

In (12) auftreteilden Potenzreihen funktionentheoretisch, d. h. mit x als Variabler, deutet, oder ob man sie als Elemente des Körpers P {x} der formalen Potenzreihen über dem rationalen Zahlkörper P auffaßt, erforderlichenfalls - z. B. für s = 00 - mit (x)-adischer Bewertung. Im Falle einer Unbestimmten benötigt man dabei für unendliche Produkte das einfache Kriterium: 00 Satz 4. [f (avo v= 1 + aVl< v 1. avo = 1 für fast alle 2. lim ...... 00 %. = 00 xl

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by Mark
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